【BZOJ2339】卡农（递推，容斥）

题面

BZOJ

题解

先简化一下题意：

在\([1,2^n-1]\)中选择不重复的\(m\)个数，使得他们异或和为\(0\)的方案数。

我们设\(f[i]\)表示选择\(i\)个数异或和为\(0\)的方案数。

直接算是很麻烦的，所以我们反过来，总数减去不合法的。

因为确定了前\(i-1\)个数最后一个数就已经知道了。

所以总方案数是\(A_{2^n-1}^{i-1}\)，不合法的有两种，一种是选择了\(0\)，一种是有重复。

选择了\(0\)，意味着前\(i-1\)个数的异或和为\(0\)，所以方案数是\(f[i-1]\)种。

有重复，我们枚举哪个数重复了，那么剩下的\(i-2\)个数的异或和仍然为\(0\)

所以方案数是\(f[i-2]\times (2^n-1-(i-2))\)，题目没有考虑顺序，但是我们计算的时候先考虑了顺序，所以这里的方案数还需要考虑在哪个位置，也就是再乘上一个\((i-1)\)

所以$$f[i]=A_{2^n-1}{i-1}-f[i-1]-(i-1)\times f[i-2]\times(2^n-1-(i-2))$$

最终的答案再把顺序的问题处理一下就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MOD 100000007
#define MAX 1000100
inline int read()
{
int x=0,t=1;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
int jv=1,A[MAX],n,m,p,f[MAX];
int fpow(int a,int b)
{
int s=1;
while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
return s;
}
int main()
{
n=read();m=read();p=fpow(2,n);f[0]=A[0]=1;f[1]=0;
for(int i=1;i<=m;++i)jv=1ll*jv*i%MOD;jv=fpow(jv,MOD-2);
for(int i=1;i<=m;++i)A[i]=1ll*A[i-1]*(p-i+MOD)%MOD;
for(int i=2;i<=m;++i)f[i]=((A[i-1]-f[i-1]+MOD)%MOD-1ll*f[i-2]*(i-1)%MOD*(p-1-(i-2)+MOD)%MOD+MOD)%MOD;
printf("%lld\n",1ll*jv*f[m]%MOD);
return 0;
}