Best Solver

Time Limit: 1500/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/102400 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1115    Accepted Submission(s): 645

Problem DescriptionThe so-called best problem solver can easily solve this problem, with his/her childhood sweetheart.

It is known that y=(5+26√)1+2x.
For a given integer x (0≤x<232) and a given prime number M (M≤46337), print [y]%M. ([y] means the integer part of y) InputAn integer T (1<T≤1000), indicating there are T test cases.
Following are T lines, each containing two integers x and M, as introduced above. OutputThe output contains exactly T lines.
Each line contains an integer representing [y]%M. Sample Input7
0 46337
1 46337
3 46337
1 46337
21 46337
321 46337
4321 46337 Sample OutputCase #1: 97
Case #2: 969
Case #3: 16537
Case #4: 969
Case #5: 40453
Case #6: 10211
Case #7: 17947 Source2015 ACM/ICPC Asia Regional Shenyang Online Recommendwange2014 

题目描述：

　　对于，给出x和mod，求y向下取整后取余mod的值为多少？

分析：

　　这种(a+sqrt(b))^n%mod，向下取整取余的式子有个递推式   S(n) = 2*a*S(n-1)+(b-a*a)*S(n-2) 这个式子得到的结果是向上取整，我们这里是向下取整，所以最后得到的结果还要减一

　　我这篇博客https://www.cnblogs.com/l609929321/p/9398349.html有这个递推式的推导过程

　　由上诉递推式不难得到：S(n) = (10*S(n-1)-S(n-2)+mod)%mod

　　但是这个题目的指数1+2^x(x<2^32)非常大，就算用矩阵快速幂也不行，所以我们得对式子进行一次优化

　　看到指数很大的类似斐波拉数列问题（都是线性递推式）很容易的想到找循环节

　　因为mod<=46337，所以我们直接遍历求前面46337项一定会出现循环节，然后记录下循环节的位置就好　　

　　（以后找模一个数的周期最大取到他的三倍，证明博客：https://www.xuebuyuan.com/1198038.html）

　　再对指数按照循环节的位置进行取模就可以了

AC代码

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e5 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll r[maxn], ans[maxn], x, m;
ll qow( ll b, ll n, ll mod ) {
    ll ans = 1;
    while( n ) {
        if( n&1 ) {
            ans = ans*b%mod;
        }
        b = b*b%mod;
        n /= 2;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ll T, t = 0;
    cin >> T;
    while( T -- ) {
        ll x, m;
        t ++;
        cin >> x >> m;
        ans[0] = 2, ans[1] = 10;
        for( ll i = 2; i < maxn; i ++ ) {
            ans[i] = (10*ans[i-1]-ans[i-2]+m)%m;  //根据类似斐波拉数得到的一个递推式
            if( ans[i-1] == ans[0] && ans[i] == ans[1] ) { //因为x很大，这里计算了循环周期
                r[m] = i-1;
                break;
            }
        }
        ll k = (1+qow(2,x,r[m]))%r[m];
        cout << "Case #" << t << ": " << (ans[k]-1+m)%m << endl;
    }
return 0 ;
}