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题目传送门 – https://www.nowcoder.com/acm/contest/148/H
题意
有两只蚂蚁在一个二维平面上走。一开始，他们都在点 $(1,0)$ 的位置。
Rikka 布置了三条规定：
1. 第一只蚂蚁不能走过直线 $y=\cfrac{a}{b} x$ 。
2. 第二只蚂蚁不能走过直线 $y=\cfrac{c}{d} y$ 。
3. 所有蚂蚁都不能走过直线 $y=0$ 。
每一只蚂蚁的行走方式都是一样的，即：如果能往上走，那么向上；否则向右。
问这两只蚂蚁走过的路径上有多少个整点是重合的，如果答案为 $\infty$ ，输出 $-1$ 。
多组数据，$T\leq 10^5,0\leq a,b,c,d \leq 10^9$ 。
题解
upd(2018-08-28): 无意中发现我之前那个 上界 的取值写错了，40多个阅读居然没人指出QAQ……
首先，判掉无穷的情况：即斜率相同。
然后，强制 $y=\cfrac ab x$ 的斜率比 $y=\cfrac cd x$ 大。（即，如果小了就交换）
记 $f(x)=y_1=\cfrac ab x,g(x)=y_2=\cfrac cd x$ ，
因此，对于一个点 $x$ ，必然有 $y_1>y_2$ 。于是，重合的整点中，横坐标为 $x$ 的点的 $y$ 坐标必然 $\leq y_2$ 。又由于 $f(x-1)>g(x-1)$ ，所以，横坐标为 $x$ 的重合的整点的 $y$ 坐标必然 $\geq\left\lfloor \cfrac{a(x-1)}{b} \right\rfloor$ 。
于是，答案就是：
$$\begin{eqnarray*}&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax-b}{b}\right\rfloor\right)\\=&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\end{eqnarray*}$$
我们考虑取一个上界，来从公式中拿掉那个 $\max$ 。
我们考虑到：
如果我们取尽量大的 $i$ ，使得
$$\cfrac {ai}{b} \leq \cfrac{c(i+1)}{d} +1$$
则，对于 $x>i$，显然有：
$$\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\leq 0$$
相反，对于 $x<i$ ，有：
$$\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\geq 0$$
这两个容易证明。
那么我们就可以解得上界为 $i=\left\lfloor \cfrac{(c+d)b}{ad-bc}\right\rfloor$ ，于是，我们可以把原式写成：
$$\begin{eqnarray*}&&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax-b}{b}\right\rfloor\right)\\&=&\sum_{x=0}^{\infty} \max\left(0,\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\\&=&\sum_{x=0}^{i}\left(\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor+1\right)\\&=&\sum_{x=0}^{i}\left\lfloor\cfrac{c(x+1)}{d}\right\rfloor-\sum_{x=0}^{i}\left\lfloor\cfrac{ax}{b}\right\rfloor\ +i+1\end{eqnarray*}$$
上面前两个 $\sum$ 是裸的类欧，直接拖一份写就可以了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
typedef long long LL;
typedef __int128 LLL;
LL f(LL a,LL b,LL c,LL n){
if (a==0)
return (b/c)%mod*((n+1)%mod)%mod;
if (a>=c||b>=c)
return ((LL)((LLL)a/c%mod*(n*(n+1)/2%mod))%mod
+(b/c)*(n+1)%mod+f(a%c,b%c,c,n))%mod;
LL tmp=((LLL)a*n+b)/c;
return (tmp%mod*n%mod-f(c,c-b-1,a,tmp-1)+mod)%mod;
}
LL T,a,b,c,d;
void write(LLL x){
if (x<0){
putchar('-');
x=-x;
}
if (x>9)
write(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
LL calc(LL x){
return (f(c,c,d,x)-f(a,0,b,x)+x+1+mod)%mod;
}
int main(){
scanf("%lld",&T);
while (T--){
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
if (a*d==b*c){
puts("-1");
continue;
}
if (a*d<b*c)
swap(a,c),swap(b,d);
printf("%lld\n",calc((c+d)*b/(d*a-c*b)));
}
return 0;
}
