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2.1 二分分类
在二分分类问题中,目标是训练出一个分类器,它以图片的特征向量x作为输入,预测输出的结果标签y是1还是0.在图像识别猫图片的例子中也就是预测图片中是否有猫.
2.2 logistic回归
已知的输入的特征向量x,可能是一张图,你需要将其识别出这是不是一张猫图,你需要一个算法,给出一个预测值,这里我们将预测值表示为\(\hat{y}\).就是你对y的预测,正
式的说你希望y是一个预测的概率值.当输入特征x满足条件时,y就是1.你希望\(\hat{y}\)告诉你这是一张猫图的概率.如果我们使用线性方程的计算表示,这里的图片是一个n维的向量,我们设置里的w也是一个n维的向量,则此时的方程是\(\hat{y}=W^{T}.x+b\)但是通过这样计算得出的值表示y是一个有可能是一个比1大的数,有可能是负数的值,而我们需要计算的概率应该是在0~1之间的范围内.所以我们单纯的计算这样的\(\hat{y}\)是没有意义的,所以在logistic regression中我们将sigmoid函数作用到这个量上.
sigmoid函数
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2.3 logistic回归损失函数
loss function
loss function 损失函数,可以用来衡量算法的运行情况,你可以定loss function为\(\hat{y}\)和y的差的平方,或者是差的平方的1/2.结果表明你可以这样做,但是通常在logistic 回归中,大家都不这样做,因为使用这个loss function 在做优化问题时,优化函数会变成非凸的最后会得到很多个局部最优解.梯度下降法可能找不到全局最优解.直观的解释是我们通过loss function 来衡量你的预测输出值\(\hat{y}\)和y的实际值有多接近.
所以为了解决这个问题,在使用优化器进行优化的时候使其成为一个凸的函数,我们在这里使用交叉熵数\(-((y^{(i)}*log(\hat{y}^{(i)})+(1-y^{(i)})*log(1-\hat{y}^{(i)}))\)
cost function
loss function(损失函数)只适用于单个训练样本,但是cost function(成本函数)则是基于整体训练集.所以在训练logistic regression的模型时,我们要找到合适的参数W和b使cost function计算得到的值尽可能小.
\(-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m((y^{(i)}*log(\hat{y}^{(i)})+(1-y^{(i)})*log(1-\hat{y}^{(i)}))\)
2.4 梯度下降法
在此图中横轴表示参数w和b,在实践中w可以是更高维度的数据,此处为了绘制图片,我们将其设置为一个实数,b也是一个实数,成本函数J(W,b)是在水平轴w和b上的曲面,曲面的高度表示J(W,b)在某一点的值,我们想要做的就是找到这样的W和b使其对应的成本函数J值是最小值.我们这里使用的cost function是交叉熵函数是一个凸函数,这是logistic回归使用这个特定成本函数J的重要原因之一.
