正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF183D

题目大意

\(n\)个人，\(m\)种衣服，给出每个人喜欢某件衣服的概率，你可以选择\(n\)件衣服带过去（可以重复款式）。求最大化能拿到喜欢衣服人的期望数量。

\(1\leq n\leq 3000,1\leq m\leq 300\)

解题思路

考虑暴力的\(dp\)，设\(f_{i,j,k}\)表示对于前\(k\)个人种类为\(j\)的衣服选择了\(i\)件。

这样显然过不了。

但是考虑答案，假设我们第\(i\)种衣服选择了\(k\)件那么产生的贡献就是

\[\sum_{j=0}^k i\times f_{i,j,n}+k\sum_{j=k+1}^nf_{i,j,n}
\]

然后对于\(k->k+1\)会多产生的贡献就是\(1-\sum_{j=1}^kf_{i,j,n}\)。考虑到这个值肯定是单调递减的，所以贡献函数是一个关于\(k\)的上凸函数。

然后就是很经典的方法了，每次暴力选择一个能扩展的最大的扩展即可。

时间复杂度\(O(n(n+m))\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=310,N=3100;
int n,m,k[M];double s[M],f[2][M][N],a[M][N],ans;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)f[0][i][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lf",&a[j][i]);
a[j][i]/=1000.0;
f[0][j][i]=f[0][j][i-1]*(1-a[j][i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
f[1][i][j]=f[1][i][j-1]*(1-a[i][j])+f[0][i][j-1]*a[i][j];
k[i]=1;s[i]=f[0][i][n];
}
for(int p=1;p<=n;p++){
int pos=1;
for(int i=2;i<=m;i++)
if(s[i]<s[pos])pos=i;
ans=ans+(1-s[pos]);
s[pos]=s[pos]+f[k[pos]][pos][n];
k[pos]^=1;int o=k[pos];
for(int i=0;i<=n;i++)f[o][pos][i]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[o][pos][i]=f[o][pos][i-1]*(1-a[pos][i])+f[!o][pos][i-1]*a[pos][i];
}
printf("%.12lf\n",ans);
return 0;
}